금융경제 Value process, Cash flow process, Gain process

 

 

 

 

*논의의 편의를 위해 예시 등의 개념을 다룰 때 price process는 simplest case로 생각하자!

 

1. Value process

• Value process는 해당 t 시점에서 portfolio의 총 가치를 의미한다. 표현은 아래와 같이 한다.$${V}_{t}=\begin{Bmatrix}{V}_{t}(\theta):t=0,1\end{Bmatrix},\;\\ {V}_{t}(\theta)=S(t)\cdot{\theta}=\sum_{j=1}^{J} {\theta}_{j}(t).$$
• j=0에서 value process는 j의 strategy를 시행하는데 필요한 비용이다. $${V}_{0}\; is\; the\; investment\; cost\;\\ for\; taking\; trading\; strategy$$
• simplest 상황에서 example을 아래에 작성하였습니다. 즉 time=1인 상황에서의 각 strategy의 value가 아래와 같이 되는 것입니다.

$$if\; \theta=(-1,1),\; then\\
{V}_{0}(\theta)=S(0)\cdot(-1,1)=\begin{bmatrix}1&1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}=0\\
{V}_{1}(\theta)=\begin{bmatrix}
{V}_{1}(\theta,{\omega}_{1})\\ 
{V}_{1}(\theta,{\omega}_{2})
\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}
S(1,{\omega}_{1})\cdot(-1,1)\\ 
S(1,{\omega}_{2})\cdot(-1,1)
\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+r&u\\1+r&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-(1+r)+u\\-(1+r)+d\end{bmatrix}$$

 

2. Cash flow process

• cash flow는 거래(trading)후에 투자자의 지갑에 남아있는 돈의 양을 의미합니다.
• 따라서 Value process와 다음과 같은 관계를 가집니다. $${c}_{0}=-{V}_{0}(\theta),\;{c}_{1}={V}_{1}(\theta)$$

 

3.Gain process

• gain process는 두 time 사이에 portfolio에 의해 발생한 총 profit을 의미합니다. 표현은 아래와 같습니다. $$G(\theta)={V}_{1}(\theta)-{V}_{0}(\theta)\\=[S(1)-S(0)]\cdot(\theta)=\sum_{j=1}^{J}{{\theta}_{j}}\cdot{\Delta{S}_{j}}$$

4. Discounted

제목과 같이 discounted된 것을 의미합니다. 그런데 더 엄밀하게는 Bank account로 discount 된 것을 의미합니다.

4.1 discounted price process

$${S}^{*}(t)={B}_{t}^{-1}S(t)$$ $$(Example.)S^{*}(1)=\begin{bmatrix}1&{(1+r)}^{-1}u\\1&{(1+r)}^{-1}d\end{bmatrix}$$

 

4.2 discounted value process

$${V}_{t}^{*}={S}_{t}^{*}\cdot{\theta}$$

 

4.3 discounted cash flow process

$${c}_{0}^{*}(\theta)=-{V}_{0}^{*},\; {c}_{1}^{*}(\theta)={V}_{1}^{*}(\theta)$$

 

4.4 discounted gain process

$${G}^{*}(\theta)=\left[{S}^{*}(1)-{S}^{*}(0)\right]\cdot(\theta)$$

 

참고 교재

도서명	저자	출판사	출판년도
Introduction to Mathematical Finance	Stanley R. Pliska	Basil Blackwell	1997