금융경제 단기 모델 Single Period Model

1. The Simplest Example

논의를 편하게 하기 위해 아래와 같은 simplest example을 정의하고 앞으로 simplest example을 사용한다면, 이와 같은 예제를 사용할 것이다.

 

• dates에는 2가지가 존재한다. 0시점과 1시점 $$T=\begin{Bmatrix}{0,1}\end{Bmatrix}$$
• states에는 2가지가 존재한다.

$$\Omega = \begin{Bmatrix}
{{\omega }_{1},{\omega}_{2}}
\end{Bmatrix}$$

• security는 2가지가 있다.
  • 한가지는 bank account이다. bank account는 risk-free asset이다. 즉 무위험 자본으로 r만큼의 return을 받는다.
  • 두번째는 stock(주식)이다. 주식은 risky asset이다.
• 현재의 가격을 다음과 같다고 하자.$$S(0)=({S}_{1}(0),{S}_{2}(0))=(1,\tilde{S})$$
  • 여기서 $${S}_{1}은\;bank\;account에\;대한\;부분이고,\\\;{S}_{2}는\;stock에\;대한\;부분이다.$$ 
• 미래에 대한 payoffs(value, price)는 다음과 같이 표현한다. $$S(1)=[{S}_{1}, {S}_{2}]=\begin{bmatrix}1+r & u\tilde{S}\\1+r & d\tilde{S}\end{bmatrix}$$
• 투자자는 trading strategy(portfolio)를 선택한다. 표현은 다음과 같이 한다. $$\theta=({\theta}_{1},{\theta}_{2})\in {R}$$ 여기서 $${\theta}_{1}은\;bank\;account에\;넣은\;돈의\;숫자(양)이다. {\theta}_{2}는\;stock에\;넣은\;돈의\;숫자(양)이다.$$
  • 따라서 strategy의 현재 가격은 다음과 같이 표현된다. $$S(0)\cdot{\theta}={\theta}_{1}{S}_{1}(0)+{\theta}_{2}{S}_{2}(0)$$
  • strategy의 미래에 대한 future payoff(value)는 다음과 같이 표현된다. $$S(1)\cdot{\theta}={{\theta}_{1} {S}_{1}(1)} + {{\theta}_{2}{S}_{2}(1)}\\=\begin{bmatrix}(1+r){\theta}_{1}+u{\tilde{S}{\theta}_{2}}\\(1+r){\theta}_{1}+ d \tilde{S} {\theta}_{2} \end{bmatrix}$$
• 우리는 간단히 하기 위해 다음과 같이 가정한다. $$\tilde{S}=1$$ 

2. Single Period Model

단기 모델은 실제와 다른 간편화된 모델이지만, 이것 또한 금융 시장에서 실제 경제의 원리들을 설명할 수 있기 때문에 그 의미가 있다. 단기 모델은 어떻게 설정되는지 살펴보자

2.1 Time set & Uncertainty

• Time set은 t=0: current date(today), t=1: future date(tomorrow)로 2가지만 있다고 하자.
• 오메가로 표현되는 기호는 미래의 가능한 상황(상태)을 의미한다. 이 값은 t=0일 때는 unknown이지만, t=1일 때에는 투자자들에게 명백한 값이 된다. 이 omega는 uncertatinty를 나타내는 값이다. $$\omega\in\Omega:\;possible\;state\; of\; the\; world$$
• probability measure는 omega의 함수이다. 즉 $$P\;on\;\Omega,\;with\;P(\omega)>0\;for\;all\;\omega\in\Omega$$

2.2 Securities

• r은 fixed risk-free interest rate이다.
• bank account(price) process는 다음과 같이 표현된다. bank account는 numeraire(단위재화가격)이 될 수 있다. $$B={\begin{Bmatrix}{{B}_{t}:t\in{T}}\end{Bmatrix}}\\={\begin{Bmatrix}{{B}_{0},{B}_{1}}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}{1,1+r}\end{Bmatrix}}$$
• securities는 financial assets(자산)을 부르는 말이며, J개가 있다고 표현한다.
• 첫번째 security는 bank account라고 가정하자.
• price process는 아래와 같이 표현되며, t시간에서 n이라는 security의 price를 의미한다. t=0일 때는 투자자가 아는 값이지만 그 이외의 시간에서는 모르는 값이다. 그리고 항상 양수이다. price process S는 exogenously(외생적으로) 주어진다. $$S=\begin{Bmatrix}{S}_{t}:t=0,1\end{Bmatrix}$$ $${S}_{j}(t,\omega)는\; t시간에\; \omega\;state일\; 때의\; j\; security의\; price$$이다.

2.3 Agent

• investor를 agent라고 표현하며, 단기 모델에서는 single investor라고 하자.
• 미래에 대한 uncertainty와 함께 투자를 한다.

2.4 Trading Strategy

• trading strategy는 investor의 투자 계획이기도 하다. 표현은 아래와 같이 한다.
• 단기 모델에서는 no friction(모든 거래가 일어난다)고 가정하자. $$\Theta=({\theta}_{j}:j=0,1,...,J)\;\;\;\\assume\; that\; \Theta={R}^{J}:no\; friction$$
• theta의 부호에 따라 의미가 달라진다. $$if\; {\theta}_{j}>0:\; long\; position\; 이다.$$ $$if\; {\theta}_{j}<0:\; short\; position\; 이다.\; \\즉\; 돈을\; 빌리거나\; 공매도\; 하는\; 것\;이다.$$ $$(EX.){\theta}_{0}<0은\; 은행에\; 돈을\; 빌리는\; 것이다.$$
•  가끔은 short selling이 불가능 하는 등 theta가 0보다 커야 할 때가 발생한다.

 

 

 

참고 교재

도서명	저자	출판사	출판년도
Introduction to Mathematical Finance	Stanley R. Pliska	Basil Blackwell	1997