금융경제 Arbitrage란? Arbitrage 기초부터 심화까지!

1. Outline

• Arbitrage는 opportunity라고도 불리며, trading strategy를 통해 free profit을 낼 수 있는 것을 말합니다.
• 공짜가 있다면 모든 사람들이 원하게 될 것이고, 따라서 어떤 재화의 가격은 free profit이 없는 방향으로 가격이 조정될 것입니다. 그래서 arbitrage가 곧 특정 재화의 가격을 책정하는 기본 원리로 작용합니다.
• 같은 의미로 equilibrium이 되기 위해서(가격 평형)는 No arbitrage가 되어야 합니다.
• "There is no free lunch" - 공짜 점심은 세상에 없다는 의미입니다. 꼭 금융이나 물건의 가격에서 뿐만 아니라, 살아가면서 쉽게 무언가를 얻을 수 있는 일은 거의 없기도 합니다. 노력해야 그에 맞는 이득과 성과를 얻을 수 있을 것입니다.

 

2. Arbitrage란

• 다음을 만족하는 trading strategy theta를 arbitrage라고 한다.

$${V}_{0}(\theta)\leq0\;\&\;{V}_{1}(\theta)\geq0\;\;\\ 단,\; 적어도\; 둘\; 중\; 하나는\; 0이면\; 안된다.$$

• No arbitrage는 Arbitrage가 없는 market을 말한다.(즉 공짜 기회가 없는 시장)
• 여기서 strong arbitrage는 다음과 같이 정의한다. $${V}_{0}(\theta)<0\;\&\;{V}_{1}(\theta)\geq0$$
• 아래와 같은 상황에서도 arbitrage가 존재한다.

$$1.\; {V}_{0}^{*}(\theta)\leq0,\;{V}_{1}^{*}\geq\;0\\ 단\; 적어도\; 둘\; 중\; 하나는\; 0이면\; 안된다.$$

$$2.\; G(\theta)>0$$

$$3.\; G^{*}(\theta)>0$$

 

3. 그래프로 살펴보는 Arbitrage(Geometric Interpretation)

그림. 1

결론부터 말하면, 위의 그림.1 처럼 S(0) 벡터가 S(1)들의 두 state 벡터들 사이에 존재하면 arbitrage가 존재하지 않는다.(arbitrage를 갖는 portfolio가 존재하지 않는다.) 음의 기울기를 갖는 분홍색 직선이 value process V를 0으로 만드는 portfolio이다. 왜냐하면, S(0)와 수직이기 때문이다. Value process는 아래와 같이 표현된다. $${V}_{t}(\theta)=S(t)\cdot{\theta}$$

즉, 이는 S벡터와 theta vector 사이의 내적에 해당하는 계산이다. 따라서 이들이 수직일 때 Value process가 0이 되는 것이다. 앞서 본 정의에서 arbitrage는 t=0일 때 V가 0보다 작거나 같고, t=1일 때 V가 0보다 크거나 같아야 했다(둘 중 하나는 non zero). portfolio인 theta가 S(0)와 수직이 되는 이 때를 기준으로 이보다 아래의 영역에 theta가 존재하면, t=0일때의 Value process는 0보다 작은 값을 가질 것이다. 마찬가지로 S(1,omega_1), S(1,omega_2)와 수직인 직선들에 대해서 생각해보면, t=1일 때 Value process V는 0보다 커야하므로, 수직인 직선들의 윗 영역이 이를 만족하는 영역일 것이다. 그런데 S(0)가 'S(1)에서의 두 states' 사이에 있으면, 해당 조건을 만족하는 영역은 없는 것이다.

반대로, 사이에 있지 않고 밖에 있는 아래의 상황을 보면 이해를 도울 수 있을 것이다. 

그림. 2

현재 주황색 직선이 S(0)에 대한 t=0에서의 Value process V를 0으로 만드는 portfolio line이다. 저 라인의 portfolio set(즉, security1에 해당하는 값과 security2에 해당하는 값들/ 저 라인의 x,y 점들이 곧 portfolio의 security1 값과 security2 값이 되는 것이다.)은 모두 t=0에서의 V를 0으로 만든다. 앞서 본 것과 마찬가지로 이 line의 아랫 영역이 $${V}_{0}\leq0$$으로 만드는 것이다. 즉, t=0에서 Value process V를 0보다 작거나 같은 값으로 만드는 것이다.

이어서 빨간색과 분홍색을 보면, 각각 S에 수직인 직선들의 윗영역이 t=1에서의 Value process V를 0보다 크게 만드는 영역이다. 즉, 아래와 같이 만든다는 것이다. $${V}_{1}\geq0$$

따라서 t=0에서의 V를 0보다 작게 만드는 영역과 t=1에서의 V를 0보다 크게 만드는 영역의 공통부분이 존재하게 되고, 이는 arbitrage의 정의에서 봤듯이 아래의 조건을 만족하는 영역이 되어서 결국 이 영역 안에 있는 porfolio들은 arbitrage가 존재하는 것이다.$${V}_{0}\leq0,\;{V}_{1}\geq0,\;then\; arbitrage\; exists$$

주의할 점은 (0,0)에 해당하는 부분은 t=0일 때의 Value process와 t=1일 때의 Value process가 모두 0이면 안된다는 조건을 무시하므로, 둘다 0이 되어서 해당 점은 arbitrage로 사용할 수 없다.(의미적으로 생각해도 portfolio에서 처음 trading에 아무 비용도 사용하지 않고 이득을 얻을 순 없을 것이다.)

• 예시 문제.
• $$S(0)=(1,1),\; S(1)=\begin{bmatrix}(1+r)&u\\(1+r)&d\end{bmatrix},\;\\(r,d,u)=(0.1,0.8,1),\; \theta=(1.1,-1.1)일때\\arbitrage\; opportunity가\; 존재하는가?$$

$$Sol)\;\\S(0)\cdot{\theta}=0\\S(1)\cdot{\theta}=\begin{bmatrix}0.11\\0.33\end{bmatrix}>>0\\따라서\; arbitrage가\; 존재한다.$$

 

 

4. Strategy Dominant(우세한)

• 다음과 같을 때 strategy theta를 dominant하다고 한다.

$${V}_{0}(\theta)={V}_{0}(\theta')\;\&\;{V}_{1}(\theta)>>{V}_{1}(\theta')$$