[쉬운 설명] 복소함수론 - 복소함수(complex functions), 극한(limit), 연속(continuity)

1. 복소함수 Complex functions

- 복소함수 정의

복소수에서 함수는 다음과 같이 정의된다.

"

$$함수\ f는\ 정의역과\ 치역을\\ 복소평면의 부분집합으로\\ 하는\ 함수이다.\\ 정의역을\ S로\ 하고,\\ S를\ domain이라고\ 부른다.$$

"

 

$즉, f: S -> \mathbb{C}, w=f(z)$

여기서 domain이란 'non-empty' ,'connected', 'open set'을 의미한다.

 

- 복소함수 그래프

복소함수는 그래프를 그리기 어렵다. 왜냐하면, 복소평면에서는 x축 y축이 모두 정의역 z를 표현해야 하기 때문이다. 따라서 아래와 같이 표현해야 한다. 정의역에서 치역으로 가는 그래프를 각각 그려줘야 하는 것이다.

- 복소함수는 real-valued function 들로 표현할 수 있다.

$z=x+iy,\ f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$

예를 들어보면, 아래와 같이 두 개의 real-valued function으로 표현할 수 있는 것이다.

$f(z)=z^{2}=(x^{2}-y^{2})+i(2xy)$

 

- 복소함수는 polar coordinates으로 표현할 수도 있다.

$f(z) = u(r,\theta)+iv(r,\theta)$

 

 

2. Limits

- 기본 정의

$$\lim_{z\rightarrow z_0} f(z)=w_0$$

 

-$\varepsilon-\delta$ 정의

$$\varepsilon>0에\ 대해\ 다음을\ 만족하는\ \delta가\ 존재한다\\\left|f(x)-w_{0}\right|<\varepsilon\ whenever\ 0<\left|z-z_{0}\right|<\delta$$

 

이 말이 의미하는 바는, $z_{0}$의 deleted eighborhood의 모든 점들이 $\varepsilon-neighborhood$안에 들어가야 한다는 것이다.

 

이러한 입실론-델타 논법의 예시를 살펴보자.

-극한과 관련된 몇가지 정리들

1. f(z) 함수의 극한이 $z_{0}$에서 존재한다면, 그것은 unique 하다.
2. $f(z)=u(x,y)+iv(x,y),\ z_{0}=x_{0}+iy_{0},\ w_{0}=u_{0}+iv_{0}\ 일\ 때\\ \lim_{(x,y)\rightarrow(x_{0},y_{0})}u(x,y)=u_{0}, lim_{(x,y) \rightarrow (x_{0} , y_{0})}v(x,y)=v_{0}\Leftrightarrow\lim_{z \rightarrow z_{0}}f(z)=w_{0}$
3. $\lim_{z\rightarrow z_{0}}f(z)=w_{1} \ and \ \lim_{z\rightarrow z_{0}}g(z)=w_{2}$라고 하자. 이 때

$$\lim_{z\rightarrow z_{0}}(f(z)+g(z))=w_{1}+w_{2}$$

$$\lim_{z\rightarrow z_{0}}(f(z)g(z))=w_{1} w_{2}$$

$$\lim_{z\rightarrow z_{0}}(f(z)/g(z))=w_{1}/w_{2}$$

 

3. Continuity

-기본 정의

$$f(z_{0})가\ 정의되어\ 있고\\ \lim_{z\rightarrow z_{0}}f(z)=f(z_{0})이면\\ f(z)는\ continuous하다.$$

 

-$\varepsilon-\delta$ 정의

$$\varepsilon>0에\ 대해\ 다음을\ 만족하는\ \delta가\ 존재한다\\\left|f(x)-w_{0}\right|<\varepsilon\ whenever\ \left|z-z_{0}\right|<\delta$$

 

여기서 보면, 극한과 달리 연속은 해당 점에서도 만족해야해서 deleted처럼 0보다 클 때가 아니라 델타에 대한 부등식만 존재한다. 즉 극한과 연속은 deleted 하나 차이인 것이다.

 

-연속과 관련된 몇가지 정리들

1. 연속 함수의 합성은 연속이다
2. $f(z)$는 연속 $\Leftrightarrow\ u(x,y)\ and\ v(x,y)\\ are\ continous\ at\ (x_{0},y_{0})$
3. R은 closed and bounded set이라고 하자. 그리고 $function\ f\ is\ continous\ on\ R$이라고 가정하자. 그러면 반드시 $M$이 존재한다.$$\left |f(z) \right| <=M \ for\ all\ z\in R$$

 세번째 정리는 연속이고 closed에서 최대 최소가 있다는 것의 복소 버젼인 것이다.