Controller를 디자인 할 때 cost, performance, stability 그리고 robustness 를 고려해야 한다. 이들은 서로 trade-off 가 있다. 자세히 살펴보기 전에 각 용어의 의미에 대해서 간단하게라도 살펴보자.
- Cost는 제어하기 위해 필요한 비용으로써, 입력하는 에너지와 그 입력으로 인한 에러가 작을수록 cost가 낮다고 할 수 있다.
- Performance는 system이 target으로 얼마나 빨리 그리고 가까이 다가가는지를 의미한다.
- Stability는 시스템이 equilibrium point(속도 없이 멈추어 있는 부분)에서 시작했을 때 그 근처에 계속 머무르는지를 의미한다.
- Robustness는 시스템이 uncertainties 나 perturbation에 대해 얼마나 민감한지를 의미한다.
1. Performance and cost
Performance와 cost는 떼어놓고 이야기하기 힘들다. 비용을 많이 들여서 성능을 좋게 만들면 되기 때문이다. 따라서 가성비의 개념처럼 performance 와 cost를 한번에 다루는 function이 있다. Cost는 제어하기 위한 input의 에너지로 생각할 수 있다. 즉, input energy인 $u^2$를 최소화하는 것이 좋다. 또한 performance로는 target signal과 output signal의 차이인 error를 최소화하는 것이 performance를 높이는 것이다. 즉, $e^2$을 최소화 해야한다. 이를 한번에 표현하면, 아래의 식이 최소화되어야 한다. 이 때 에러 앞의 상수는 Cost와 performance의 중요치를 결정짓는 weight이다. 아래의 식은 가장 기본적인 time domain에서 T 만큼의 시간이 흘렀을 때 cost &performance function 이다. 여기서의 특징은 squared signal을 모두 sum 했다는 것.
$$ \iota = \int^T_0 u^2+\rho^2e^2 dt$$
2. Performance – Energy and $H_2$
앞서서는 time domain에서 performance 와 cost를 다룰 때 squared signal을 모두 sum했다. 우리는 전체 signal에 대한 평균 값을 얻을 때 아래와 같은 2-norm을 사용한다.
$$ ||u(t)||_2 = (\int_0^\infty |u(t)|^2dt)^{1/2} \;\; \text{식. 1}$$
즉 이처럼 $T \rightarrow \infty$ 일 때 cost & performance function 은 아래와 같다.
$$\iota = ||u(t)||_2^2 + \rho^2 ||e(t)||_2^2 \;\; \text{식. 2} $$
이번에는 transfer function 과 complex signal 로 다루고자 한다. 우리는 아래와 같은 transfer function U(s) 의 2-norm 을 $H_2$ norm이라고 한다.
$$||U(s)||_2 = (\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty |U(j\omega)^2d\omega|)^{1/2} $$
여기서 |U(jw)|^2은 Bode gain(magnitude)의 square 값이다. $H_2$ norm의 의미는 모든 input frequency에 대해서 input signal의 평균 amplification 을 의미한다. 이처럼 $H_2$ norm 을 이용하여 cost & performance function 을 구성하면 아래와 같다.
$$\iota = ||U(s)||_2^2 + \rho^2||E(s)||_2^2 \;\; \text{식. 3}$$
여기서 비슷한 의미로, E(s)의 2-norm 또한 모든 input frequency에 대해 error의 평균을 의미한다. 만약 time-domain 에서 energy 2-norm이 유한하면, energy 2-norm과 H2-norm이 동등하다.
$$||u(t)||_2 = ||U(s)||_2$$
정리하면 식1은 가장 일반적인 식으로 어떠한 finite signal에 대해서도 적용할 수 있고, linearity나 다른 특별한 가정을 하지 않아도 된다. 식2는 모든 시간 구간에서 구한 것을 제외하고는 식1과 같다.
만약 식2가 infinite 하면 이 function은 useful 하지 않다. 그런데 식2가 infinite 해도 식3이 finite 할 수 있다. 다시 말해 식3까지 보여야 할 이유가 있다는 것이다.
3. Robustness and stability – H∞
보통 Input을 더 적게 amplify 하는 system 일수록 perturbation에 대해 더 robust 하다. 그래서 자주 사용되는 optimization 방법으로 system이 input을 가장 크게 amplify 할 수 있는 정도를 최소화 하는 방법이다. 즉 the greatest amplification을 minimize 하는 것이다. 이것은 worst case의 perturbation에 대해서 robust 하게 대응할 수 있다.
이러한 모든 input frequency에 대해서 system의 maximum amplification을 H∞ norm 이라고 한다. 즉 transfer function G(s) 의 maximum of $|G(j\omega)|$ for overall ω. 이 값이 곧 Bode plot 에서 peak gain 값이다.
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